Воспитанник Пензенского Зенита. Начал свою карьеру в сезоне 2011/2012 в ФК Академия (Тольятти), где сыграл 13 игр. В сезоне 2013/2014 года Александр Каляшин выступал за Динамо (Москва) и сыграл 1 матч в РФПЛ. В сезоне 2015/2016 года играл за Динамо -2 (Москва) а в сезоне 2017/2018 года за ФК Чайка (Ростовская область) Также Александр Каляшин вызывался в сборную России.